Teorías de cohomología de coálgebras

El espíritu de esta tesis consiste en encarar el estudio de coálgebras sobre un cuerpo a través de técnicas del álgebra homológica. El capítulo 1 es introductorio. Se recuerdan las definiciones de los principales objetos que aparecer´an en el resto del trabajo y se dan ejemplos en donde las nociones definidas aparecen naturalmente. El capítulo 2 trata de las teorías de cohomología de coálgebras Hoch y H. Se demuestra la invariancia de estas teorías por equivalencias de las categorías de representaciones y se calculan los grupos de cohomología para algunos de los ejemplos, tanto algebraicos como topológicos. La parte general de este capítulo está dedicada al problema de la localización de coálgebras. El capítulo 3 trata sobre la cohomología de una clase de coálgebras coconmutativas, que son las que hemos denominado suaves. Se obtienen resultados análogos a los que caracterizan la homología de Hochschild de álgebras suaves en términos del álgebra exterior en los diferenciales de Kähler (Teorema de Hochschild - Kostant - Rosenberg). En el capítulo 4 damos la definición de cohomología cíclica de coálgebras. Allí se analizan ejemplos y se estudian propiedades de esta teoría, en particular su relación con Hoch y su invariancia por equivalencias de categor´?as de comódulos. En el capítulo 5 se extiende lo realizado en las secciones precedentes al caso de coálgebras no necesariamente counitarias. A partir del capítulo 6 comienza el estudio de objetos diferenciales graduados. Se dan allí las definiciones de este tipo de objetos. Aparecen entonces naturalmente la categoría de homotopía H(C) y la categoría derivada D(C). Los capítulos 7 y 8 tratan del estudio de la categoría derivada D(C) y D(C)+. Finalmente en el capítulo 9 se extienden las teorías de cohomología al caso diferencial graduado y se prueban teoremas de invariancia.