Descripción: [fórmulas aproximadas, revisar las mismas en el original]Consideremos un anillo conmutativo l con involución con un elemento λ ∈ l tal que λ+λ∗ = 1; sea Alg∗l la categoría de l-algebras con involución compatible con la de l que llamamos ∗-algebras. En esta tesis desarrollamos una categoría triangulada kk^h y un funtor j^h : Alg∗l → kk^h que llamamos K-teoría hermitiana algebraica bivariante; el funtor j^h satisface invarianza homotopica, estabilidad matricial y hermitiana y es una teoría de homología escisiva para extensiones que se parten linealmente. También definimos una versión invariante homotopica estilo Weibel de la K-teoriıa hermitiana que notamos como K H^h∗. Mostramos que la categorıa kk^h recupera K H^h0 como funtor representable homkkh (l, A) ∼= K H^h0(A). Construimos funtores εU y εV que se corresponden con desuspensiones de los funtores U’ y V’ en el Teorema Fundamental de Karoubi: para R ∈ Alg∗l unital hay un elemento θ0 ∈ K^h2 ((U^r2)R) cuyo producto cup induce un isomorfismo εK^h∗ (V’(R)) ∼= −εK^h∗+1(U’(R)). Probamos una adjunción entre kk^h y la K-teoria algebraica bivariante kk definida por Cortiñas y Thom y la usamos para probar una versión del teorema de Karoubi en kk^h : el producto con la imagen de θ0 in KH^h0 (U^2 l) induce un isomorfismo en kk^h J^h (εV A) ∼= Ωj^h (−εUA) para todo A ∈ Alg∗l. Esto nos permite obtener una versión bivariante homotópica de la clásica sucesión de 12 términos de Karoubi para la K-teoría hermitiana.[fórmulas aproximadas, revisar las mismas en el original]

Descripción: Este trabajo se enfoca en el estudio de K-teorías algebraicas bivariantes universales. Cortinas y Thom construyeron en [2] una ˜K-teoría bivariante, invariante por homotopía,escisiva, M∞-estable y universal en la categoría Algl de algebras sobre un anillo unital l. Más precisamente, construyeron una categoría triangulada kk junto con un funtor j : Algl→ kk que verifica: 1. j manda morfismos (polinomialmente) homotopicos en morfismos iguales; 2. j manda sucesiones exactas cortas en Algl que se parten como sucesiones de l-modulos en triángulos distinguidos en kk; 3. j(A → M∞A) es un isomorfismo, para toda algebra A. El funtor j es universal en el sentido de que cualquier otro functor Algl→ T con lasmismas propiedades —donde T es una categoría triangulada— se factoriza por j demanera única. Independientemente de [2], Garkusha construyó en [6] distintas teoríasde homología bivariantes, invariantes por homotopía, escisivas y universales en Algl. Todas estas teorías verifican (1) y (2), pero satisfacen condiciones de estabilidad distintasde (3). Los metodos usados por Garkusha son bien distintos de los usados por Cortinas-Thom: el primero construye sus categorías de K-teoría bivariante derivandouna categoría de Brown mientras que los segundos dan una descripcion más explícitade la categoría kk en terminos de clases de homotopía de morfismos de ind-álgebras. Enesta tesis combinamos resultados de [5] con ideas desarrolladas por Cortinas-Thom en [2] y damos nuevas descripciones de las categorías de K-teoría bivariante definidas por Garkusha en [6]. Nuestra construccion de la categoría de homotopía estable por lazossigue de cerca a la construccion hecha en [3, Section 6.3] en el contexto topológico. Enel camino, calculamos los grupos de homotopía del espacio de morfismos HomAlgk(A, B∆)para cualquier par de algebras A y B, generalizando [2, Theorem 3.3.2]. Como aplicaciónde esto último, damos una demostración simplificada de [5, Comparison Theorem A] sin usar localizacion de Bousfield de categorías de modelos. Por último, usando el espectrode K-teoría bivariante definido por Garkusha en [5], construímos un espectro simplicialque representa a la K-teoría algebraica bivariante G-equivariante kkG definida por Eugenia Ellis en [4]. Ademas, mostramos que el teorema de Green-Julg [4, Theorem 5.2.1] y la adjuncion entre inducción y restricción [4, Theorem 6.14] se levantan a equivalenciasdebiles de espectros.

Descripción: Las conjeturas de isomorfismo prevén una descripción de la K-teoría (en sus diversas variantes)del producto cruzado R x G de un grupo G con coeficientes en un anillo R equipado con unaacción de G, en términos de topología algebraica. En esta tesis estudiamos diferentes versionesde las conjeturas con ideales de operadores como anillos de coeficientes. Consideramos primero el morfismo de ensamble para la K-teoría algebraica con coeficientesen el anillo S de operadores de Schatten. Guoliang Yu probó que este morfismo es racionalmenteinyectivo. Su prueba involucra la construcción de un cierto caracter de Chern que funciona parael caso particular con coeficientes K(S). Aquí damos una demostración alternativa del resultadode Yu, formulándolo en términos de K-teoría homotópica y utilizando el caracter de Chern usualcon valores en la homología cíclica. Mostramos además que si G satisface la conjetura de isomorfismo racional para K-teoría homotópica con coeficientes en el álgebra de operadores de traza en un espacio de Hilbert, entoncestambién satisface la conjetura de Novikov para K-teoría algebraica y la parte de inyectividadracional de la conjetura de Farrell-Jones con coeficientes en cualquier cuerpo de números. Finalmente probamos la validez de la conjetura de Farrell-Jones para un grupo a-T-menable G con coeficientes en un anillo de la forma Ix(UxK), donde I es un G-anillo K-escisivo, U es una G-C*-álgebra y K = K(l´2(N) es ideal de operadores compactos. Utilizando esto y el resultado de Higson y Kasparov sobre la validez de la conjetura de Baum-Connes con coeficientes para talesgrupos, mostramos que si A es estable y separable la K-teoría del producto cruzado algebraico U x G coincide con la K-teoría de la C*-álgebra plena C*(U;G). Palabras clave: K-teoría, conjeturas de isomorfismo, ideales de operadores, homología,álgebras de grupo.

Descripción: En esta tesis investigamos en qué medida las teorías de homología escisivas, invariantes por homotopía y matricialmente estables nos ayudan a distinguir dos algebras de camino de Leavitt L(E) y L(F) de grafos E y F sobre un anillo conmutativo l. Este trabajo está dividido en dos partes. En la primera (Capítulo 2) consideramos algebras de camino de Leavitt de grafos generales sobre anillos conmutativos arbitrarios. La K-teoria algebraica bivariante kk es la teoría de homología universal con respecto a las propiedades mencionadas; probamos un teorema de estructura para algebras de camino de Leavitt unitales en kk. Mostramos que bajo leves hipótesis en el anillo l, para un grafo E con finitos vértices y matriz de incidencia reducida AE, la estructura de L(E) depende solamente en las clases de isomorfía del conúcleo de la matriz I − AE y el de su transpuesta, que son respectivamente los grupos KH^1 (L(E)) = kk−1(L(E), l) y KH0(L(E)) = kk(l, L(E)). Por tanto, si L(E) y L(F) son algebras de Leavitt unitales tales que KH0(L(E)) ≅ KH0(L(F)) y KH^1(L(E)) ≅ KH^1(L(F)) entonces ninguna teoría de homología con las tres propiedades mencionadas puede distinguirlas. Además probamos que, para algebras de camino de Leavitt, kk tiene varias propiedades similares a las que la K-teoría bivariante de Kasparov tiene para C∗-algebras de grafo, incluyendo análogos a los Teoremas de coeficientes universales y de Kunneth de Rosenberg y Schochet. En la segunda parte (Capítulo 3) abordamos el problema de clasificación de álgebras de camino de Leavitt simples puramente infinitas de grafos finitos sobre un cuerpo l. Es un problema abierto determinar cuando el par (K0(L(E)), [1L(E)]), que consiste del grupo de Grothendieck junto con la clase [1L(E)] de la identidad, es un invariante completo para la clasificación, a menos de isomorfismos, de algebras de camino de Leavitt de grafos finitos ́ que son simples puramente infinitas. Nosotros mostramos que (K0(L(E)), [1L(E)]) es un invariante completo para el problema de clasificación de dichas algebras a menos de equivalencia homotopica polinomial. Para esto, desarrollamos a un más el estudio de la K-teoría algebraica bivariante de algebras de Leavitt iniciada en la parte previa y obtenemos otros resultados de interés.[fórmulas aproximadas, revisar las mismas en el original]

Descripción: Esta tesis está dedicada al estudio de representaciones por operadores acotados en espacios Lp del álgebra de Leavitt LQ de un grafo. Sean Q un grafo orientado finito por filas y LQ su álgebra de Leavitt sobre C. Parap ∈ [1,∞) consideramos la noción de representación espacial de LQ por operadores linealesy acotados en un espacio Lp(X, μ), que generaliza la introducida por N.C. Phillips par el casoen que Q es la rosa de d pétalos, y LQ el álgebra de Leavitt Ld. Para cada p consideramos la completación Op(Q) de LQ bajo la norma ||a|| := sup ρ espacial ||ρ(a)|| (a ∈ LQ). Probamos que si LQ es simple y ρ es una Lp representación espacial no nula de LQ entonces ||a||ρ := ||ρ(a)|| no depende de ρ. En particular si LQ es simple, Op(Q) = ρ(LQ) paracualquier representación espacial no nula ρ. Probamos que si Q y F son dos grafos finitos por filas, y p y q distintos, no existe unmorfismo continuo de Op(Q) en Oq(F). Probamos además que Op(Q) es simple si y sólo si LQ lo es. Aquí, una Lp álgebra deoperadores A se dice simple si todo morfismo no nulo de A en otra Lp álgebra de operadoreses inyectivo. Esta definición de simplicidad no coincide con la de álgebras de Banach, puespodrían existir ideales cerrados que no sean el núcleo de un morfismo contractivo entre Lpálgebras de operadores, al contrario de lo que sucede en el caso de C*-álgebras. Probamos que existe una biyección entre la clase de ideales S1 invariantes en Op(Q) yel conjunto de subconjuntos de vértices hereditarios y saturados de Q. Este resultado esun análogo a la biyección ya conocida entre ideales graduados del álgebra de Leavitt y lossubconjuntos de vértices hereditarios y saturados. Para Q finito por filas arbitrario, calculamos la K-teoría topológica de Op(Q) y probamosque coincide con la de la C*-álgebra de Cuntz-Krieger de Q.

Descripción: En esta tesis, investigamos algunos aspectos de aleatoriedad y trivialidad definidos por la teoría de largo de programa. Primero abordamos la aleatoriedad y la absoluta normalidad de números reales. Ambos conjuntos de reales tienen medida de Lebesgue 1 y son nociones que implican varias propiedades de estocasticidad. A pesar de esto, no ha sido fácil dar ejemplos concretos en estas clases. Probamos que existen números absolutamente normales que son computables y damos dos algoritmos para construirlos. El primero está basado en una reformulación computable de un resultado de Sierpinski de 1916. El segundo es parte de nuestra reconstrucción de un manuscrito inédito de Turing sobre números normales. En cuanto a ejemplos de aleatoriedad, generalizamos la probabilidad de detención de Chaitin y analizamos la probabilidad de que una máquina universal se detenga y devuelva un resultado en un conjunto dado X. Estudiamos la relación entre las propiedades de X provenientes de la teoría de la computabilidad y las propiedades de aleatoriedad de la probabilidad inducida. El segundo aspecto de aleatoriedad que tratamos es el estudio de una variante de la complejidad clásica de largo de programa que no involucra oráculos, y nos preguntamos si esta noción conduce a una definición más estricta de aleatoriedad. Definimos nuestra función de complejidad en base a máquinas de Turing monótonas que realizan cómputos infinitos. Investigamos algunas propiedades de esta función y consideramos las definiciones inducidas de aleatoriedad y trivialidad. Con esta última noción caracterizamos a los reales computables. El último aspecto se vincula con la anti-aleatoriedad y la posibilidad de caracterizar a los reales llamados K-triviales con nociones que no involucren directamente a la complejidad de largo de programa libre de prefijos. Proponemos e investigamos dos nociones de lowness que tienen sus raíces puramente en la teoría de la computabilidad, reforzando otras ya existentes en la literatura. Relacionamos la complejidad de largo de programa plana C y libre de prefijos K con estas nociones, considerando variaciones de K-trivialidad y C-trivialidad. Concluimos con una lista de las principales preguntas que quedaron abiertas.