Descripción: Proponemos y analizamos métodos de elementos finitos para problemas estacionarios singularmente perturbados, tales como problemas de reacción-difusión o de convección-difusión. Es conocido que la técnicas de discretización estándares no producen buenas aproximaciones a la solución de esta clase de problemas si el parámetro de perturbación es pequeño debido a la presencia de capas límites o internas. Estamos interesados en métodos robustos que funcionen adecuadamentepara todos los valores del parámetro de perturbación singular. Consideramos dos técnicas diferentes. Una de ellas se basa en refinamientos locales de la malla cerca de las capas límites. Usamos que la solución está en espacios de Sobolev con peso para probar estimaciones del error de interpolación sobre mallas rectangulares adecuadamente graduadas. Introducimos un operadorde interpolación de promedios para el cual probamos estimaciones de error bajo la condición de que elementos vecinos tengan longitudes comparables en cadadirección. Esta condición es verificada por mallas que aparecen naturalmente en la aproximación de capas límites. También consideramos la aproximación defunciones que se anulan en el borde por funciones con la misma propiedad. Finalmente, nuestras estimaciones permiten sobre el lado derecho normas de Sobolev con pesos, donde el peso está relacionado con la distancia al borde. Proponemos también un método de Galerkin Discontinuo (DG) con estabilización de tipo Exponential Fitting para resolver un problema de interés en semiconductores. El método DG considerado es una variante del método de Interior Penalty. Analizamos el método propuesto en las formulaciones mixta y primal, y presentamos ejemplos númericos que muestran resultados adecuados. Finalmente probamos estimaciones de error óptimas para el método DG introducido en el caso de un problema regular.

Descripción: Fil: Borthagaray Peradotto, Juan Pablo. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina.

Descripción: En este trabajo estudiamos diferentes tipos de operadores de interpolación sobre elementos finitosanisotrópicos. Obtenemos estimaciones óptimas para el error, en la interpolación de Lagrangesobre P1 y en W(1,P) con p > 2, para tetraedros bajo la asi llamada condición del ángulo máximo. Para la interpolación de Lagrange sobre Q1, en cuadriláteros, hallamos una condición geométricamuy poco restrictiva bajo la cual obtenemos estimaciones óptimas para el error en H1. Estacondición admite elementos anisotrópicos y generaliza todos los resultados conocidos. Tambiénpresentamos un nuevo interpolador de promedios sobre P1 y probamos que posee orden óptimoen W(1,2), en 3D, para tetraedros bajo la condición del ángulo máximo. En particular, posee uncomportamiento mejor que el de Lagrange. Finalmente demostramos que la condición del ángulomáximo para tetraedros es necesaria y suficiente para obtener cotas óptimas del error en L2 parala interpolación de Raviart-Thomas. Damos además algunas aplicaciones de este resultado paraciertos métodos mixtos y no-conformes, tanto para problemas escalares elipticos como para lasecuaciones de Stokes.

Descripción: En esta tesis desarrollamos y analizamos una aproximación unificada del par velocidad-presión para el problema de Stokes-Darcy acoplado, en un dominio bidimensional. El problema acoplado de Stokes-Darcy describe el movimiento de un fluido viscoso incompresible, modelado por la ecuación de Stokes, que fluye a través de una interfase a un medio poroso, modelado por la ecuación de Darcy, con condiciones de interfase dadas por la conservación de masa, el balance de fuerzas normales y la ley de Beavers-Joseph-Saffman. El desarrollo de métodos numéricos eficientes para aproximar la solución al problema de Stokes, al problema de Darcy y, en particular, al problema acoplado, ha ido en aumento en los últimos años debido a su importancia en hidrología, dinámica de fluidos y en diferentes problemas de filtración. Es sabido que, las aproximaciones por elementos finitos estables para el problema de Stokes pueden no ser apropiadas para el problema de Darcy (y por ende para el problema de Stokes-Darcy acoplado), siendo entonces un problema interesante la elección de espacios de elementos finitos adecuados para el problema acoplado. Con el objetivo entonces de obtener aproximaciones a la solución del modelo acoplado, haciendo uso de espacios de elementos finitos estables para el problema de Stokes, introdujimos una modificación en la formulación del problema de Darcy. En primer lugar asumimos que tanto el dominio como la interfase fueran poligonales y, gracias a la modificación introducida en la formulación del problema de Darcy, resolvimos el problema acoplado de Stokes-Darcy usando el clásico Mini-element. Demostramos que el método propuesto es incondicionalmente estable, tiene una precisión óptima con respecto a la regularidad de la solución y es de fácil implementación. Presentamos también experimentos numéricos que confirman la estabilidad y exactitud del método propuesto, el cual es probablemente uno de los m ́as sencillos para la aproximación unificada (y continua en cada una de las dos regiones) del sistema acoplado. Posteriormente realizamos el análisis y la resolución numérica, con el método de elementos finitos considerado anteriormente, del problema acoplado de Stokes-Darcy en dominios curvos usando triángulos curvos. El inter ́es de este enfoque reside en poder representar fehacientemente tanto el dominio como la interfase. Para este problema obtuvimos también, bajo apropiadas condiciones sobre el dominio en consideración, estimaciones de error de orden óptimo, extendiendo así los resultados obtenidos para el caso poligonal.

Descripción: En esta tesis se analiza la aproximación numérica de problemas singularmente perturbados de reacción–difusión, con y sin convección. En primer lugar, consideramos la aproximación por elementos finitos bilineales utilizando mallas adaptadas a priori para problemas modelos. En este caso, obtenemos resultados de superconvergencia, es decir, la diferencia entre la solución dada por el método de elementos finitos y la interpolada de Lagrange de la solución exacta es de mayor orden que el error numérico, en una norma apropiada. Las estimaciones obtenidas son casi óptimas respecto al orden en función del número de nodos N, y con constantes que dependen débilmente del parámetro de perturbación ε. Es decir, salvo factores logarítmicos, las constantes son independientes de ε y el orden es el mismo que se obtiene utilizando mallas uniformes en problemas con soluciones suaves. Como consecuencia de estos resultados, obtenemos estimaciones casi óptimas del error en norma L2, mejorando de estamanera resultados conocidos anteriormente. Para problemas más generales, para obtener mallas adaptadas adecuadamente es necesario usar estimadores a posteriori. En la última parte de esta tesis, construimos y analizamos este tipo de estimador de error para un problema de convección-reacción-difusión y presentamos unmétodo de refinamiento anisotrópico basado en este estimador de error a posteriori.

Descripción: En esta tesis se modelan numéricamente procesos asociados a la tectónica de placas por medio del diseño y la implementación de dos modelos completamente originales basados en el método de los elementos finitos. Además, es la primera vez que se aplican este tipo de modelos numéricos a las regiones tratadas en esta tesis. El primer modelo está basado en las ecuaciones de Stokes (dinámica de fluidos) y simula la evolución de largo plazo y en gran escala de la corteza en un orógeno de tipo Andino. Este modelo ha sido acoplado con un modelo de compensación isostática y otro de erosión. Se simuló la evolución de la corteza superior de los Andes Australes a los 47ºS durante el Mioceno. Se determinó en la simulación el rol clave de la erosión superficial y de la cortical, así como también la aparición de un fenómeno de rain-shadow. El otro es un modelo termo-mecánico y basado en la deformación de sólidos. Es capaz de simular el comportamiento elasto-visco-plástico de los materiales y reproducir procesos geodinámicos hasta una profundidad de 410 km bajo diversas condiciones cinemáticas. Se pueden incluir una cantidad arbitraria de materiales con diferentes propiedades por medio de sus parámetros. No se conocen implementaciones de modelos con este tipo de características que se apliquen al estudio de este tipo de procesos. El modelo fue utilizado para estudiar las particularidades de un proceso denominado delaminación. Se simuló la evolución durante casi 9 millones de años (My) de un dominio de 150 km de profundidad y 300 km de ancho que incluye el manto litosférico y astenosférico. En este experimento, las raíces del orógeno se desprenden de la corteza inferior debido a su transformación en eclogita. Además, se presenta en detalle un framework de propósito general. Este fue diseñado para resolver distintos tipos de ecuaciones en derivadas parciales por el método de los elementos finitos. Su diseño modular y el uso adecuado de las abstracciones brindan una gran flexibilidad para utilizar diferentes tipos de elementos para resolver los problemas. También puede ser extendido a otro tipo de ecuaciones y elementos. Esta tesis es un ejemplo de los avances y mejoras que pueden ser alcanzados en distintas ramas de la ciencia por medio de la investigación y colaboración interdisciplinaria.

Descripción: En esta tesis analizamos estimaciones de error a posteriori para la versión p del métodode elementos finitos (FEM). En primer lugar, mostramos las diferencias que surgen entre elcaso unidimensional y bidimensional, al considerar indicadores de error de tipo residual parael problema de Poisson con datos de borde de tipo Dirichlet homogéneos. Mientras que enel caso unidimensional, usando indicadores de error con pesos, se obtienen estimaciones aposteriori para la versión hp de FEM con constantes de equivalencia con la norma energíadel error independientes de h y de p [DH], aún no se tienen resultados análogos en másdimensiones. En efecto, las técnicas utilizadas en [DH] no pueden simplemente generalizarseal caso bidimensional y, hasta el momento, para estimadores de tipo residual no se ha podidodemostrar que los estimadores propuestos sean equivalentes a la norma energía del error conconstantes de equivalencia independientes de p, i.e., del grado del polinomio involucrado. Sin embargo, en esta tesis mostramos que estimaciones de error a posteriori casi-óptimas sepueden obtener si trabajamos en espacios de Jacobi-Sobolev con pesos. Usualmente para hacer un análisis a posteriori del método de elementos finitos se necesitanestimaciones de interpolación para funciones en espacios de Sobolev, así como estimacionesinversas para funciones polinomiales. Por lo tanto, para construir un interpolador enespacios de Jacobi-Sobolev con pesos, introducimos primeramente los polinomios de Jacobiy mostramos sus propiedades para luego llevar a cabo un análisis pormenorizado de la dependencia,tanto del grado del polinomio como del peso, de las constantes involucradas ennuestras estimaciones. Presentamos también un análisis de las estimaciones inversas presentesen la bibliografía, con especial cuidado en estudiar como dependen las constantes del pesoque se este considerando. Posteriormente, para el problema modelo de Poisson en dos dimensiones, proponemosun estimador con pesos para la versión p de FEM, y utilizando nuestros resultados de interpolación y las estimaciones inversas, mostramos que estos estimadores son equivalentes alerror en alguna norma adecuada, con constantes óptimas en p. Finalmente, mostramos comonuestros resultados se pueden generalizar a la versi´on hp de FEM.