untitled

Soluciones conjuntistas a la ecuación de Yang-Baxter, invariantes de nudos y cohomología


Set theoretic solutions of the Yang-Baxter equation, knot invariants and cohomology

García Galofre, Juliana

Director(a):
Farinati, Marco A.
 
Institución otorgante:
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Universidad de Buenos Aires
Fecha:
2016-03-31
Tipo de documento: 
Tesis Doctoral
 
Formato:
text; pdf
Idioma:
Inglés
Temas:
INVARIANTE DE KNOT-LINKS - COHOMOLOGIA DE YANG-BAXTER - QUANDLE - BIQUANDLE - RACK - BIALGEBRA - ALGEBRA DE HOPF - ALGEBRA TRENZADA
Descripción:
En el Capítulo 2 definimos una biálgebra B cuya homología y cohomología coinciden con las de biquandle definidas en [CJKS] y otras generalizaciones de cohomología del caso quandle o rack (por ejemplo la definida en [CES2]). La estructura algebraica encontrada permite demostrar con transparencia la existencia de un producto asociativo en la cohomología de biquandles. Este producto era conocido para el caso rack (con una demostración topológica, por lo que nuestra construcción provee de una prueba completamente algebraica e independiente) pero era desconocido en el caso general de biquandles. También esta estructura algebraica descubierta permite mostrar la existencia de morfismos de comparación con cohomología de Hochschild que, eventualmente, podrán proveer de ejemplos de cálculo de cociclos, que (en grado dos para nudos, y en grado tres para superficies) pueden ser utilizados para calcular invariantes. Más aún, explicitamos un morfismo de comparación que se factoriza por un complejo que, como bimódulo, es la extensión de escalares de un álgebra de Nichols. En [AG] se define un 2-cociclo de quandle como una aplicación β : X × X → H donde (X,★) es un quandle y H es un grupo (no necesariamente abeliano) tal que β(x1,x2)β(x1★x2,x3) = β(x1,x3)β(x1★x3,x2★x3) y β(x,x) = 1. En el Capítulo 3 generalizamos esa definición para biquandles (X,σ) adaptando las ecuaciones existentes y agregando una equación más: Una función f : X × X → H es un 2-cociclo trenzado no conmutativo si • f(x1,x2) f(σ2(x1,x2),x3) = f(x1,σ1(x2,x3)) f(σ2(x1,σ1(x2,x3)),σ2(x2,x3)), y • f(σ1(x1,x2),σ1(σ2(x1,x2),x3))= f(x2,x3) ∀x1,x2,x3 ∈ X. Definimos un grupo, Unc, y un 2-cociclo no conmutativo universal, π, tales que para todo grupo H y f : X × X → H 2-cociclo no conmutativo, existe un único morfismo de grupos ḟ : Unc → H tal que f = ḟ ◦ π. Mostramos que Unc es funtorial. Definimos una asignación de pesos a cada cruce en un nudo/link y, probando que cierto producto es invariante por movimientos de Reidemeister obtuvimos un nuevo invariante de nudos/links que generaliza el invariante obtenido en [CEGS]. Para cada grupo Unc definimos cocientes Uᵞnc y mostramos que estos, si bien son en general mucho más chicos que Unc, guardan la misma información que el primero con respecto al cálculo de invariantes. Hemos calculado Unc y Uᵞnc para ciertos ejemplos de biquandles pequeños. Para poder trabajar con ejemplos de cardinal mayor a tres utilizamos GAP (System for Computational Discrete Algebra). Esto último nos permitió colorear links con biquandles (no provenientes de quanldles) de mayor cardinal y así distinguir nudos-links concretos (e.g.: el trebol de su imagen especular, la no trivialidad del link Whitehead, etc). Es decir, encontramos ejemplos que muestran que nuestro invariante generaliza estrictamente el definido en [CEGS]. Estos ejemplos ya se dan con biquandles de tamaño muy chico (cardinal 3) y permiten distinguir sensiblemente nudos distintos (e.g.: link Borromeo de tres "no nudos" separados , link de Whitehead de dos "no nudos", trebol de su imagen especular). Palabras clave: invariante de knot-links, cohomología de Yang-Baxter. Quandle, biquandle, rack, biálgebra, álgebra de Hopf, algebra trenzada.
Identificador:
http://digital.bl.fcen.uba.ar/gsdl-282/cgi-bin/library.cgi?a=d&c=tesis&d=Tesis_5942_GarciaGalofre
Identificador único:
http://repositoriouba.sisbi.uba.ar/h/3996
Derechos:
info:eu-repo/semantics/openAccess
http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.5/ar/
Licencia de uso:
Licencia Creative Commons


Cita bibliográfica:

García Galofre, Juliana  (2016-03-31).     Soluciones conjuntistas a la ecuación de Yang-Baxter, invariantes de nudos y cohomología.  (Tesis Doctoral).    Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Universidad de Buenos Aires.    [consultado:  ] Disponible en el Repositorio Digital Institucional de la Universidad de Buenos Aires:  <http://digital.bl.fcen.uba.ar/gsdl-282/cgi-bin/library.cgi?a=d&c=tesis&d=Tesis_5942_GarciaGalofre>